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x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

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常用公式模板（点击插入）

a^2 + b^2 = c^2

勾股定理

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

二次求根

e^{i\pi} + 1 = 0

欧拉公式

\ln e = 1

自然对数

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

三角函数

\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta

倍角公式

\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta

二倍角

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

导数定义

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

常用极限

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e

重要极限

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

泰勒展开

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

麦克劳林

\int_{a}^{b} f(x) \, dx

定积分

\int f(x) \, dx = F(x) + C

不定积分

\int u \, dv = uv - \int v \, du

分部积分

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx

傅里叶变换

\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt

拉普拉斯变换

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

正态分布

\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2

方差

E(X) = \sum_{i} x_i p_i

期望

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

条件概率

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}

贝叶斯公式

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

加法公式

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

二项分布

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1

几何级数

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

等差求和

S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}

等比求和

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

组合数

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

矩阵

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

行列式

\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases}

方程组

\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y

对数和

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

换底公式

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

幂运算法则

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta

向量点积

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta

向量叉积

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

海伦公式

S = \pi r^2

圆面积

V = \frac{4}{3} \pi r^3

球体积

S = 4 \pi r^2

球表面积

V = \pi r^2 h

圆柱体积

(uv)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}

导数乘法

\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime} v - u v^{\prime}}{v^2}

导数商法

F = ma

牛顿第二定律

E = mc^2

质能方程

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行内公式用 $...$ 包裹，独立公式用 $$...$$；上标 ^、下标 _、分式 \frac{分}{母}、根号 \sqrt{}。记住这五件套能写八成公式。

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